Хи-квадрат (χ²) Пирсона: условия применения метода и интерпретация

Хи-квадрат Пирсона один из самых популярных статистических критериев для анализа качественных данных (номинальных, порядковых, ранговых), анализа частот. Однако, как и у каждого статистического критерия у хи-квадрата есть свои собственные правила применения метода, его интерпретации. Для того, чтобы Вы могли успешно овладеть этим ценнейшим статистическим инструментом сравнения статистических совокупностей по качественным данным предлагаем Вам ознакомиться с этой учебной статьей.

Правила использования хи-квадрата Пирсона
Условия применения хи-квадрата Пирсона
Как рассчитывать хи-квадрат Пирсона
Учет степеней свободы при применении хи-квадрата Пирсона
Пример корректной интерпретации хи-квадрата Пирсона

Как использовать хи-квадрат Пирсона?

Хи-квадрат используется прежде всего для анализа таблиц сопряженности (вид таблицы, которая учитывает совместное влияние фактора на исход, данные в таблице сопряженности должны быть представлены в виде частоты номинальных данных или интервалами, но не непрерывными количественными величинами). Стоит отметить, что при работе с сопряженными таблицами хи-квадрат часто является поддержкой для анализа влияния факторов риска с помощью расчета рисков (абсолютный и относительный риски) и отношение шансов.

Таблицы сопряженности могут принимать различные формы, простейшая таблица сопряженности выглядит следующим образом:

Как заполнить таблицу сопряженности? Обратимся к простому примеру:

Например, Вы хотите с помощью таблицы сопряженности и как следствия хи-квадрата Пирсона выяснить есть ли различия в частоте артериальной гипертонии в группах курящего и некурящего населения. Предполагается, что по остальным параметрам Ваши группы равномерны и превалирующим фактором риска развития артериальной гипертензии будет именно курение.

Для проведения исследования на основании ретроспективных данных (дизайн: случай-контроль) были отобраны две группы исследуемых — в первую вошли 70 человек, ежедневно выкуривающих не менее 1 пачки сигарет, во вторую группу вошли 80 некурящих такого же возраста, пола, и социального уровня (прочие систематически ошибки случайны).

В первой группе у 40 человек отмечалась артериальная гипертензия. Во второй — у 32 человек. Соответственно, референсное (нормальное) артериальное давление в группе «курильщиков» наблюдалось у 30 человек (70 — 40 = 30), а в группе «некурящих» нормальное АД наблюдалось у 48 (80 — 32 = 48).

Имея эти данные мы можем заполнить простейшую таблицу сопряженности:

АД- артериальное давление

Как видно из таблицы: каждая строка соответствует группе пациентов, которая подвергается влиянию фактора, каждый столбец, в свою очередь, обозначает частоту исходов в группе (к примеру: произошло/ не произошло, как в нашем примере).

Таблицы сопряженности служат удобным средством визуализации комбинации частот «фактор- исход» и субстратом для расчета хи-квадрата Пирсона, который в нашем случае сможет дать статистически точный ответ о случайности или не случайности наших находок.

Условия применения статистического критерия хи-квадрата Пирсона

1. Тип данных: параметры должны быть качественными цельночисленными частотами, измеренными в номинальной шкале (Например, тип диагноза)

бинарными (пол: мужской/женский, наличие или отсутствие заболевания)

порядковыми (степень артериальной гипертензии),

2. Желательно, чтобы общее количество наблюдений было более 20,
3. Ожидаемая частота, соответствующая нулевой гипотезе должна быть более 5, если ожидаемое явление принимает значение менее 5, то необходимо использовать точный Критерий Фишера.
4. Для четырехпольных таблиц (2х2): Если ожидаемое значение принимает значение менее 10 (а именно 5<x<10), необходим расчет поправки Йетса таблиц сопряженности
5. Сравниваемые частоты должны быть примерно одного размера
6. Сопоставляемые группы должны быть независимыми (то есть единицы наблюдения в них разные, в отличие от связанных групп, анализирующих изменения «до-после» у одних и тех единиц наблюдений до и после вмешательства. Для таких ситуаций существует отдельный тест МакНемара (McNemar)

Запрещается: использовать хи-квадрат для анализа непрерывных абсолютных данных, процентов и долей

Как рассчитать критерий хи-квадрат Пирсона?

Для оценки достоверности различий по методу хи-квадрата Пирсона (критерий соответствия, коэффициент согласия) анализируется различия между реальной существующими частотами в группах (Observed) и рассчитываемыми по формуле ожидаемыми «гипотетическими» частотами, которые соответствуют распределению хи-квадрат. При малом различии ожидаемых и наблюдаемых частот (хи-квадрат не достиг своего критического значения) мы принимаем нулевую гипотезу об отсутствии различий. Если же различия оказываются существенными (критическое значение хи-квадрата достигаются для заданного числа степеней свободы) мы отвергаем нулевую гипотезу и говорим о наличии статистически значимых различий.

Чем больше теоретические числа, рассчитанные на основе Но-гипотезы, будут отличаться от фактических, тем более «хи -квадрат» будет отличаться от 0, тем с большей вероятностью можно отклонить Но-гипотезу и говорить о статистической достоверности имеющихся различий в сравниваемых совокупностях.

Основная формула для расчета хи-квадрата Пирсона:

Зачем учитывать количество степеней свободы при расчете хи-квадрата?

Для того, чтобы не утомлять читателя пространными разъяснениями «о сумме квадратом нормально распределенных случайных величин» скажем лишь, что оценка критического значения хи-квадрата зависит от степени свободы изменения частот, что это значит на практике для пользователя хи-квадрата? То, что чем более многопольная таблица перед Вами, тем больше степеней свободы, чем она меньше, тем меньше. Формула расчета хи-квадрата следующая:

Degree of freedom (d.f.) = (c-1)(r-1)

Column (c) – количество столбцов частотами, r- количество строк с частотами.

Таким образом, количество степеней свободы для стандартной 2х2 таблицы сопряженности составит:

d.f. = (2-1)*(2-1)=1

и так далее.

Примеры расчета хи-квадрата Пирсона

Пример 1:

Необходимо определить наличие влияния предшествующей степени нарушения кровообращения на исход комиссуротомии (хирургическое разделение спаек при стенозе клапанного отверстия сердца). Пациенты поступали на комиссуротомию с различными исходными уровнями нарушения кровообращения. После комиссуротомии пациенты были выписаны с различными исходами операции.

Фактор: Степень нарушения кровообращения

Исход: Результативность операции

Таблица: наблюдаемые (Observed) частоты распределения влияния степени нарушения кровообращения на результаты операции комиссуротомии

Первый этап

Расчет ожидаемых (Expected) величин (на основании групповых частот)

Второй этап

Сопоставление наблюдаемых и ожидаемых частот с нахождением их разницы (O-E)

Третий этап

Рассчитываем сумму отношений квадрата разности значений и делим ожидаемые данные (хи-квадрат) (O-E)²/E

как видно из данной таблицы одно из ожидаемых значений равно 0, в данном случае будет подставлена 1, корректнее применить точный критерий Фишера (см. Условия применения хи-квадрата Пирсона)

Четвертый этап

Необходимо соотнести полученное значение хи-квадрата с критическим значением хи-квадрата.Возникает вопрос, откуда брать критическое значение? Критическое значение хи-квадрата, как и для большинства, статистических критериев зависит от степени свободы и уровня достоверности (alpha), который Вы выбираете.В нашем случае, наше количество степеней свободы равно (3-1)*(3-1)=4, уровень значимости, который мы хотим соблюсти равен 0,05Обратимся к таблице критических значение хи-квадрата:

• Xи-квадрат (для d.f.=4 p=0.05) = 9.488
• Xи-квадрат (для d.f.=4 p=0.01) = 13.27735,03 > 13,277;
• p<0,01

Пример корректной интерпретации: Предшествующая степень нарушения кровообращения влияет на исход комиссуротомии (однако! Мы не можем говорить о направленности связи, то есть: улучшает-ухудшает сказать не можем), оптимально указать степень свободы, точное значение хи-квадрата, если есть возможность рассчитать точное значение достоверности, то так же стоит указать и его или остановиться на критическом значении достоверности (p<0,05 или p<0,01 и так далее).В нашем случае:d.f.=4, x²=35,03, p< 0.01
Пример 2: Вернемся к нашему примеру с влиянием курения на развитие артериальной гипертензии:Исходная четырехпольная таблица:

Для четырехпольных таблиц существует упрощенная формула расчета значения хи-квадрата:

• x²= (40х48 – 32х30)х150 / (70)(80)(72)(78) = (1920 – 960)²х150/31449600 = 138240000/31449600 = 4,395
• Сравним полученное значение хи-квадрата с критическим значением (для степени свободы 1, и уровнем значимости 3,841)

Правильная интерпретация: Курение оказывает влияние на формирование повышенного артериального давления df=1, x²= 4,395, p<0,05

Заключение по хи-квадрату Пирсона

хи-квадрат Пирсона является удобным статистическим методом для анализа изменения частот, оформленными в таблицы сопряженности для несвязанных групп. Как и все статистически инструменты хи-квадрат Пирсона имеет свои правила, преимущества и ограничения применения. Будьте внимательны и хи-квадрат Пирсона Вас не разочарует.